Codziennie korzystamy z osiągnięć matematyki, nawet nie zdając sobie z tego sprawy. Kompresja danych, odtwarzanie plików mp3, prognozowanie pogody, tomografia komputerowa, sztuczna inteligencja, wyszukiwarki internetowe. A to tylko kilka zastosowań współczesnej matematyki – mówi prof. Andrzej Cegielski z Polskiego Towarzystwa Matematycznego w Zielonej Górze.

Prof. dr hab. Andrzej Cegielski na zielonogórskich uczelniach pracuje od 1977 r. Od tego czasu jest członkiem Polskiego Towarzystwa Matematycznego, cztery kadencje był prezesem zielonogórskiego oddziału. W latach 2005 – 2012 był Dziekanem Wydziału Matematyki Informatyki i Ekonometrii UZ. W październiku br. odebrał srebrny medal Prezydenta Miasta jako wyraz uznania za osiągnięcia mające znaczenie dla Zielonej Góry.

Agnieszka Hałas: – Wyjaśni pan laikowi zawiłości matematyki i jej języka?
Prof. dr hab. Andrzej Cegielski: – Równaniami matematycznymi można opisywać wiele zjawisk w przyrodzie, przy czym te same równania mogą opisywać różne zjawiska. Na przykład równanie Blacka-Scholesa, za które przyznano nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii, a służące wycenie opcji na giełdzie papierów wartościowych można sprowadzić do równania ciepła, z którego korzysta się w naukach technicznych. Nie ma więc potrzeby tworzenia osobnych teorii do różnych zjawisk, skoro można je opisać tymi samymi równaniami i przy użyciu metod matematycznych badać ich własności. Immanuel Kant, wielki niemiecki filozof, napisał, że „w każdej wiedzy jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki”. I coś w tym jest.

Matematyka to nie tylko królowa nauk, ale niekwestionowana królowa korepetycji. Dlaczego uczniowie nie nadążają i nagle muszą się pilnie doszkalać?
– W zrozumieniu matematyki ważna jest systematyczność, ponieważ poruszanie się po jej kolejnych piętrach zależy od biegłości w poruszaniu się po piętrach niższych. Uczeń nie nauczy się działania na potęgach, jeśli nie umie dodawać ułamków. Nie nauczy się operować logarytmami, jeśli nie zna działań na potęgach. Natomiast człowiek ma taką naturę, że czasem woli zostawić coś na później. W innych przedmiotach jest inaczej, np. w języku polskim przeczytanie ze zrozumieniem jednej lektury nie zawsze jest uwarunkowane przeczytaniem lektur przerabianych wcześniej. W przypadku matematyki początkowe zaległości u uczniów mszczą się w późniejszych etapach, a rodzice zbyt późno je zauważają. A potem chcą się ratować korepetycjami. Nie zawsze są one jednak pomocne, bo dziecko zdążyło już zniechęcić się do matematyki. Korepetycje pomogą, jeśli to uczeń, a nie jego rodzic chce nadrobić zaległości.

Czy są jakieś praktyczne wskazówki, które pomogłyby lepiej zrozumieć matematykę?
– Powtórzę: systematyczność i jeszcze raz systematyczność. Jeśli uczeń nauczy się jej, matematyka okaże się nie tylko prosta, ale i ciekawa. Natomiast, gdy jej zabraknie, to będzie tak, jak w powiedzeniu: im głębiej w las, tym więcej drzew.

Czy w dobie sztucznej inteligencji ma jeszcze sens zadawanie uczniom i studentom zadań domowych?
– Oczywiście, że jest sens, ale zadania domowe powinny mieć inny charakter. Sztuczną inteligencję można włączyć w proces nauczania. Uczniów można zachęcić do korzystania z niej, ale w sposób krytyczny. Poza tym, w przeciwieństwie do nauczyciela i korepetytora, sztuczna inteligencja jest dostępna przez 24 godziny na dobę i przez siedem dni w tygodniu. Może ona bez problemu wychwycić, z czym uczeń ma problem i indywidualnie dopasować jakie typy zadań powinien przećwiczyć, aby zrozumiał materiał.

W jaki sposób rozwój technologii, w tym sztucznej inteligencji, wpływa na badania i nauczanie matematyki?
– Przy pomocy sztucznej inteligencji można bardzo szybko dowiedzieć się o stanie wiedzy na dany temat, bez żmudnego wertowania po literaturze. Może ona również analizować olbrzymie zbiory danych, które jej dostarczono. Ważne jest jednak, aby tego, co nam przekaże na przykład Chat GPT nie traktować jako prawdy absolutnej. Zbyt często bowiem popełnia on błędy i jego odpowiedzi należy konfrontować z literaturą naukową. Jeśli nie znamy się na problemie, o który pytamy, Chat raczej niewiele nam pomoże. Obecnie sztuczna inteligencja nie zastąpi nam myślenia, a może służyć jedynie jako bardzo szybka i obszerna pamięć podręczna, która może dodatkowo analizować dane metodami statystycznymi. Nie wiadomo też, czy AI kiedykolwiek zastąpi myślenie. Sir Roger Penrose, laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki, twierdzi, że mimo potężnej mocy obliczeniowej komputery, w dzisiejszym tego słowa znaczeniu, nigdy nie będą myśleć, bo nigdy nie będą mieć świadomości.

Jak matematyka znajduje zastosowanie w codziennym życiu, być może w sposób, którego nie zauważamy?
– Codziennie korzystamy z osiągnięć matematyki, nawet nie zdając sobie z tego sprawy. Kompresja danych, odtwarzanie plików mp3, prognozowanie pogody, tomografia komputerowa, rezonans magnetyczny, konstruowanie coraz doskonalszych skrzydeł samolotów, mapowanie genów w chromosomie, rozpoznawanie obrazów, sztuczna inteligencja, wyszukiwarki internetowe – to tylko kilka zastosowań współczesnej matematyki. Zastosowania te powstają na styku wielu dziedzin: inżynierii, medycyny, informatyki, fizyki, biologii, ale nie byłoby ich gdyby nie postępy w matematyce.

Czy istnieje jakieś matematyczne zagadnienie wyjątkowo inspirujące lub wciąż nierozwiązane?
– Jest takie. Nazywa się zagadnieniem komiwojażera. Oto stojący przed szkołą autobus ma zebrać dzieci z 20 przystanków i zawieźć je do szkoły. Jak zaplanować trasę, aby była jak najkrótsza? A teraz miejmy świadomość, że wszystkich takich tras jest ponad sto biliardów (biliard to 1 z piętnastoma zerami). Wśród nich oczywiście istnieje trasa najkrótsza. Jednak wyznaczenie takiej trasy na tzw. chłopski rozum jest trudne nawet dla komputera. A co jeśli tych przystanków będzie 40? Nawet dla dopasowanych do tego zagadnienia najszybszych algorytmów czas obliczeń rośnie bardzo szybko (a dokładniej wykładniczo) wraz ze wzrostem liczby przystanków. Pytanie, na które od blisko 100 lat usiłuje odpowiedzieć wielu matematyków, brzmi: czy istnieje algorytm, dla którego czas obliczeń rośnie wolniej niż wykładniczo wraz ze wzrostem liczby przystanków? Odpowiedzi do dzisiaj nie znamy. Problem ten jest równoważny jednemu z siedmiu tzw. problemów milenijnych, a za rozwiązanie każdego z nich Instytut Claya oferuje nagrodę miliona dolarów.

Czy wśród matematyków ma się również idoli? Mamy swoich ulubionych pisarzy, poetów, malarzy. Jak jest z matematykami?
– Są oczywiście wielcy matematycy, których wyniki podziwiamy, i które inspirują nas do badań. Natomiast matematycy raczej nie używają słowa autorytet lub idol. Autorytet, to osoba, która w danej dziedzinie lub w danym środowisku jest wyrocznią. To, co ona powie jest w tym środowisku uznawane za prawdę. Natomiast w matematyce, ale również i w kilku innych dziedzinach nauki, każda prawda podlega weryfikacji. Każdy może sprawdzić, czy jest to prawda, czy nie, i może ją ewentualnie podważyć. Na przykład Galileusz podważył stwierdzenie Arystotelesa, że cięższy przedmiot zawsze spada na ziemię szybciej niż lżejszy. Przeprowadził on doświadczenie zrzucając jednocześnie kulę metalową i kulę drewnianą z wieży w Pizie. Obie spadły na ziemię jednocześnie. Każdy może ten eksperyment powtórzyć i przekonać się, że to prawda. Wynik ten jest również zgodny z teorią Newtona, czyli obowiązuje zarówno na Ziemi, jak i na Marsie, jak i na każdej innej planecie. Do matematyków, którzy wywarli duży wpływ na moje badania, zaliczam Dawida Hilberta i Polaka, Stefana Banacha, jednego z założycieli tzw. lwowskiej szkoły matematycznej. Przed około stu laty wprowadzili oni abstrakcyjne przestrzenie nazwane ich nazwiskami. Własności tych przestrzeni są dzisiaj często wykorzystywane w wielu zagadnieniach praktycznych. Trzecim „moim” matematykiem jest Stefan Kaczmarz z wspomnianej szkoły lwowskiej. W 1937 r. napisał krótką, trzystronicową pracę, a dwa lata później zginął w pierwszych dniach wojny, będąc oficerem Wojska Polskiego. Jego praca przez trzy dekady była niezauważona, a od 60 lat była wielokrotnie wykorzystywana m. in. w tomografii komputerowej i radioterapii.

Jakie nowe trendy lub odkrycia w matematyce w ostatnich latach uważa pan za przełomowe?
– W ostatnich latach matematycy coraz więcej uwagi poświęcają algorytmom służącym rozwiązaniu trudnych problemów. Algorytmom, które z jednej strony są szybkie, a z drugiej – wymagają mało pamięci komputerowej. Postępy w tym zakresie będą skutkować tym, że wiele trudnych problemów będzie można stosunkowo szybko rozwiązać za pomocą zwykłego laptopa. Wielu matematyków pracuje również nad rozwiązaniem równania Naviera-Stokesa, które jest ważne w mechanice płynów.

Co pan poradził uczniom chcącym chcą rozwijać swoje pasje matematyczne?
– W Instytucie Matematyki Uniwersytetu Zielonogórskiego od lat prowadzimy konkursy i zajęcia popularyzujące matematykę. Od blisko 20 lat w naszym Instytucie umiejscowiona jest polska centrala międzynarodowego konkursu „Matematyka bez granic”, w którym corocznie uczestniczy blisko 20 tys. uczniów z całej Polski. Co roku prowadzimy również konferencje „Matematyka dla Młodych”, w których swoje pasje matematyczne rozwija młodzież z lubuskich szkół. Poza tym w szkołach prowadzimy Dni Matematyki i Tygodnie Matematyki. Wszystkie te zajęcia organizuje Oddział Zielonogórski Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Niedawno obchodziliśmy jego 50-lecie.

Agnieszka Hałas

Fot. Bartosz Mirosławski